«La ciencia es lo que el padre le enseña a su hijo. La tecnología es lo que el hijo le enseña a su padre»
Michel Serres (nacido en 1930)
Aprender matemática y la importancia de los números a veces requiere cierto nivel de abstracción, sobre todo si hablamos de calcular de forma infinitesimal o infinita: a veces el cerebro tiene problemas para concebir números irracionales o racionales famosos.
Según la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico (OCDE), el 23 % de los estudiantes menores de 15 años no tienen «el nivel de habilidades necesarias para participar plenamente en la vida de nuestras sociedades modernas».
Una cifra importante, que se añade a otra que confirma el peso del origen social en el éxito académico: el 40 % de los estudiantes de la clase obrera tiene un bajo rendimiento en matemática, en comparación con el 5 % de las clases más altas.
Aquí tienes un artículo de divulgación para todos los públicos: ¡las constantes cero, (i), (e) y otros dígitos famosos en matemáticas!
Todo sobre el cero en matemática
Entre los números enteros que se han considerado problemáticos en la historia de las matemáticas está el número cero.
Actualmente, nos parece lógico considerar los enteros negativos, sobre todo cuando se realizan ecuaciones para pronosticar las temperaturas en invierno. Estos son los números enteros relativos.
Sin embargo, la historia del cero es larga y tuvo muchos obstáculos según las culturas y las épocas. ¡El cero existe como lo conocemos solo desde el siglo XIII!
¿Y los matemáticos de la antigua Grecia? Para la ciencia antigua, los pitagóricos y otros matemáticos griegos famosos (Tales, Euclides, Arquímedes, etc.), lo que existe es uno y no se puede describir lo que no existe. Los griegos de los siglos V, IV y III a.C., por lo tanto, no tenían ninguna escritura para representar el vacío, la nulidad y la nada en su sistema de numeración.
El cero conoce su primera existencia en la época de los babilonios, donde sirve para materializar el vacío entre los dígitos, encontrando una función de posición entre los números. Así, escribían símbolos entre el 7 y 5 para escribir el dígito 705, por ejemplo.
¿Sabías que…? Brahmagupta, un matemático hindú, publica en el año 628 el Brahma Sphuta Siddhanta, un tratado de astronomía que define el cero como una sustracción de un número por sí mismo (x - x = 0).
Tras varias herencias, el 0 cruza las fronteras de los imperios y surgen las teorías para tratar de probar la existencia de este dígito.
Por ejemplo, tratan de restar, sumar, multiplicar y dividir los números por 0.
Los eruditos hindúes descubrieron, ya que es matemáticamente imposible dividir un dígito con 0 como denominador, que cuanto más se divide un número por un número aproximado a 0 (solo un poco más grande que 0), más se aleja de este exponencialmente. Así exploraron cada decimal admitiendo que el intervalo de 0 a 1 se subdivide en una infinidad de decimales.
Así descubrieron que el cero está vinculado a una infinidad de valores, con 1/x = infinito.
El 0 irrumpió en la Europa cristiana oscurantista en el siglo XII, después de que los eruditos árabes usaran la cifra (sifr en árabe) y se volviera más y más calculable, de la mano de L. Fibonacci, procedente de Italia, quien publica Liber abaci, un libro aritmético que hace referencia al conocimiento matemático de la época, incluido el del mundo árabe-musulmán.
El 0, el símbolo del vacío, de la ausencia de cantidad y de la nada, tiene muchas representaciones culturales, populares y filosóficas.
Aquí tienes varios símbolos de este dígito:
- La ausencia de valor, lo gratuito.
- La integridad (100%).
- El origen de todo.
- Los límites a alcanzar.
- La unidad y eternidad.
- Renovación (de ahí la expresión «empezar de 0 »).
- La seguridad.
- El huevo: la fertilidad, la feminidad, el feto.
- El ciclo, etc.
A la vez negativo y positivo, el 0 es neutro y es el único dígito entero que devuelve el resultado a una cantidad nula cuando se multiplica por cualquier otro valor.
Definición y usos del número (e) en matemática
Llamado también «constante de Napier», el número (e) sirve de base para el cálculo logarítmico. Es un número irracional que se escribe con un dígito infinito de decimales sin secuencia lógica. Es decir, ¿un número que no se puede contar?
Historia del número e
A diferencia de los racionales, cuyo desarrollo decimal se llama periódico, el dígito (e) tiene una infinidad de décimas sin orden lógico.
La relación 2/7, por ejemplo, es igual a 0,285714285714285714... Cada decimal que aparece después de la coma muestra la secuencia recurrente 285714 reproducida hasta el infinito.
Hoy en día, sabemos que (e) = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... y que hay más de 8 billones de décimas posibles.
El 3 de enero de 2019, el matemático Gerald Hofmann logró demostrar la existencia de 8 billones de decimales después del punto decimal, superando el récord anterior de 5 billones encontrados en 2016.
En 1614, John Napier publica Mirifici logarithmorum canonis descriptio, una obra sobre aritmética que presenta la creación del logaritmo, una herramienta para simplificar los cálculos de trigonometría utilizados para la astronomía.
Aunque nuestra calculadora y los ordenadores dan el valor del cálculo algorítmico en un solo clic y hoy en día todos los profesores de matemáticas pueden enseñar la función logarítmica a sus estudiantes, este no fue el caso en la época moderna.
Las obras de J. Napier consistieron en poder sumar en lugar de multiplicar, restar en vez de dividir y dividir por 2 en lugar de extraer una raíz cuadrada; ese es el propósito del logaritmo.
Al principio, las tablas logarítmicas tenían 8 décimas. Con la fórmula 103 = 10 x 10 x 10 = 1000, entonces log(1000) = 3 y si 10x = y entonces log(y) = x.
Vale, pero ¿cuál es la relación con el dígito e? Pues permite determinar para qué valor el logaritmo neperiano, ln (x), es igual a 1.
El dígito (e) tiene 400 años de historia en las matemáticas. El matemático Jacques Bernoulli (1654-1705), el inventor de la famosa ley de probabilidad epónima, busca maximizar los beneficios de un orfebre utilizando el interés compuesto.
Descubre que el interés calculado en un año es menor que si se estima mensualmente, y aún menor cuando se realiza el cálculo diariamente. Gracias a haber considerado esta demostración mercantil, descubrió el dígito e.
Luego, el suizo Leonhard Euler (1707-1783) formula la teoría del dígito e, como una expresión de la función exponencial, utilizando el desarrollo por fracción continua.
Usos del número e
Hoy en día, podemos encontrarnos con el dígito (e) en un problema matemático, en la búsqueda de un polinomio, en las operaciones o ecuaciones diferenciales, en el cálculo de áreas de figuras geométricas, etc.
La informática y la inteligencia artificial, al querer ir más allá de los límites de la realidad aumentada, han aprovechado la constante e, en particular, para crear algoritmos cuya potencia de cálculo, creciente, supere las capacidades humanas de reflexión.
Desde el momento en que consideramos que (e) sirve para calcular una magnitud exponencial, encontraremos esta constante en la demografía y en la economía para estimar el crecimiento exponencial de una población, en biología, para explicar la división celular, en física y en informática.
¿No entiendes tus clases de matemáticas o quieres desempolvar tus conocimientos matemáticos? Hay varios recursos web donde podrás repasar en línea esta noción esencial de los nuevos programas de matemática:
- Vitutor,
- YouTube,
- PUEMAC,
- Timonmate.
Si quieres ir más lejos, puedes buscar la fórmula matemática de estimación del dígito (e)que más te convenga...
Aprender a usar el número (i) en matemática
Este es otro teorema matemático interesante que explorar: el número imaginario i.
Si sabemos que el cuadrado de cualquier dígito relativo es positivo (-4² = 16, por ejemplo), sabemos que la raíz cuadrada de x es el dígito que, al cuadrado, es igual a x (la raíz cuadrada de 16 da 4).
Sin embargo, no podemos extraer una raíz cuadrada de los negativos, ya que el cuadrado de un dígito, sea cual sea su signo, produce un resultado positivo.
Para solucionar este gran problema matemático, cuya historia abarca siglos, se inventó un dígito imaginario puro. El dígito llamado (i) permite contemplar la extracción de la raíz cuadrada de un número real: raíz de -4 = 2i.
De acuerdo con las reglas de los signos (el producto de dos negativos es positivo), el cuadrado de -1 es positivo, ya que -1² = (-1) x (-1) = 1. La raíz cuadrada de -1 sería un dígito que, elevado al cuadrado, sería igual a -1, ¡así que no existiría!
¿Estamos en un callejón sin salida? No, porque los eruditos matemáticos han demostrado su imaginación, añadiendo (i) a la raíz cuadrada del -1.
(i)= es el dígito cuyo cuadrado es -1, y su notación algebraica es i² = -1.
La historia de este dígito imaginario se remonta al siglo XVI, cuando Gerolamo Cardano (1501-1576, Italia) busca extraer para resolver una ecuación de tercer grado: así surgen los dígitos complejos en el lenguaje matemático.
La investigación matemática, en ese momento, trata de dar soluciones no reales a ecuaciones imposibles. L. Euler creó la notación (i) en 1777, para calificar los dígitos supuestamente imposibles o imaginarios.
Los matemáticos C.F. Gauss (1777-1855) y Augustin Louis Cauchy (1789-1857) profundizaron en el trabajo en torno a los dígitos imaginarios puros, permitiendo incorporarlos entre los dígitos reales en los cálculos.
Ya que el dígito (i) permite resolver ecuaciones u operaciones que no tienen solución en un conjunto real, se amplía enormemente el campo de las posibilidades en las matemáticas.
De hecho, cualquier ecuación cuyo resultado sea negativo no tiene solución en su conjunto de naturales (por ejemplo, la ecuación x - 10 = -20 = -10), pero tiene solución en el conjunto de dígitos relativos.
En teoría, el dígito (i) ha permitido avanzar en la investigación física y en la electricidad, especialmente para el desarrollo del circuito impreso para ordenadores durante la revolución informática.
¿Para qué sirve el número Pi?
π se define como la forma en que se relaciona la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se usa para calcular el perímetro y el área de un círculo. Es aproximadamente igual a 3,1416, pero en realidad los investigadores estiman que tiene alrededor de 12 billones de décimas.
Es un dígito irracional y trascendente (no algebraico). Se usa principalmente en geometría, pero también en probabilidad, estadística y otros aspectos de las matemáticas.
El número Pi sigue siendo un misterio para los científicos y objeto de muchas investigaciones. Y aunque no sirve de nada memorizar el dígito Pi, ¡se han batido muchos récords!
¿Qué es el número áureo en matemática?
También llamado razón dorada, proporción divina o proporción áurea, el número áureo, designado por la letra griega φ (phi), se define como la única forma de relacionar a/b entre dos longitudes a y b.
Al igual que Pi, es un dígito no racional que corresponde a la solución única de la ecuación x2 = x + 1.
Su origen se remonta a las pirámides de Keops y se habría utilizado primero en geometría. El primer texto que evoca él la proporción áurea, sin embargo, fue escrito por Euclides en el 300 a.C., pero es Platón quien parece haber dedicado un estudio por derecho propio. Después, se relacionará con la sucesión de Fibonacci y será sinónimo de belleza en el siglo XX.
Se usa en geometría y en aritmética, pero está en todas partes a nuestro alrededor en la naturaleza, de ahí su conexión con la belleza y la perfección.
¿Cuáles son los números primos?
Un dígito primo es un entero natural que admite solo dos divisores distintos: 1 y sí mismo. Por tanto, el 0 y el 1 no son números primos.
El teorema de Euclides demostró que hay una infinidad de ellos, por lo que es imposible conocerlos todos. Para ayudarte, aquí tienes la lista de los 25 números primos que hay entre 0 y 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Se pueden encontrar más gracias a la técnica de pruebas de división y la criba de Eratóstenes, aunque existen otras técnicas para conocer los dígitos primos.
Por otra parte, hay dígitos primos especiales: los números primos gemelos, los de Pitágoras, los de Mersenne y los de Fermat.
¿Cuáles son los números perfectos?
Los dígitos perfectos son dígitos naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios.
Están estrechamente relacionados con los números primos de Mersenne y hay varios teoremas que han hecho posible encontrarlos, incluidos los de Euclides y Fermat.
Los números perfectos son bastante raros; actualmente, solo se conocen 50. Los que conocemos son todos pares y solo hay tres entre el 0 y 1000: 6, 26 y 496.
Los científicos son incapaces de afirmar si hay dígitos perfectos impares. Por otro lado, también hay dígitos triperfectos, multiperfectos (e) hiperperfectos.
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