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La matemática ha existido desde el principio de los tiempos. Si creemos en el descubrimiento del hueso de Ishango (hace más de 20.000 años) esta puede que sea la primera prueba del conocimiento de los primeros números primos y la multiplicación, pero el tema sigue siendo controvertido.
Si bien algunos de los números más famosos de las matemáticas siguen siendo un misterio para muchos de nosotros, algunos las ven como una excelente manera de entender y analizar el mundo. En este artículo, descubrirás qué es un dígito perfecto y para qué sirve (alerta spoiler: ¡no te permitirá mejorar tu vida diaria!).
La historia de los números perfectos
Estos están relacionados con la búsqueda de los números primos de Mersenne. De hecho, la proposición 36 del libro IX de Elementos de Euclides dice que si el número de Mersenne 2n - 1 es primo, entonces 2n-1 (2n - 1) es un número perfecto.
René Descartes confirmó en una carta a Mersenne que cualquier dígito perfecto par es euclidiano, pero no demostró su teoría. En cambio, el suizo Leonhard E. fue el primero en dar una demostración a la observación de Descartes. La combinación de los resultados de Euclides y Euler permitió obtener una caracterización completa de los dígitos perfectos.
Los primeros cuatro dígitos perfectos se conocen desde la antigüedad. Se encuentran en las obras de Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. El quinto dígito perfecto se menciona en un códice latino de 1456. Los números perfectos sexto y séptimo fueron encontrados por Cataldi en el siglo XVI y el octavo en 1772 por Euler.
Así, a principios de la década de los 50, conocíamos 12 dígitos perfectos, pero después la búsqueda se aceleró a través de técnicas cada vez más sofisticadas y el uso de ordenadores en la década de los 90 gracias al GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search).
Agustín de Hipona (354-430) fue un filósofo, escritor, matemático y sacerdote romano que afirmó que los perfectos tienen su razón de ser. En su obra La Ciudad de Dios explica que el 6 es perfecto porque Dios creó el mundo en seis días. El siguiente número, el 28, se corresponde con los días que la luna tarda en dar la vuelta alrededor de la tierra. Esta afirmación no está exenta de polémica, ¿casualidad o no?
A los siguientes dos dígitos ya no se les ha otorgado una explicación. Son el 496 y el 8128. Estos cuatro primeros dígitos ya habían sido descubiertos en el siglo I por Nicómaco de Gerasa, filósofo que vivió en una antigua ciudad de la Decápolis, que pertenecía al Imperio Romano y que hoy es Jordania.
Para hallar el quinto número perfecto tendremos que dar un salto enorme en la historia hasta llegar al siglo XV, ya que fue en un manuscrito de este siglo donde apareció el 33.550.336, quinto número perfecto. El sexto y el séptimo, 8.589.869.056 y 137.438.691.328, fueron descubiertos un siglo después, en 1588, por Pietro Cataldi.
Llevamos sólo siete números y las cifras ya son enormes. El octavo ya pasa a otra dimensión: 233. M31(donde M33 es 2.147.483.647, el trigésimo primer número de M) y fue descubierto por Euler en 1750. Seguro ya nos hemos vuelto a perder.
¿Qué es el número de Mersenne? Es un número entero positivo, m, que es una unidad menor que una potencia entera positiva de 2. Esto sería:
Al igual que con los perfectos, sólo se conoce un número limitado de números de Mersenne quien fue un filósofo, matemático y sacerdote francés (1588-1648).
Leonhard Paul E. (1707-1783) fue un físico suizo. Seguramente su nombre ya te suene, puesto que el descubrimiento del octavo número perfecto no fue su único logro. Es también la persona que dio nombre al el número e, utilizado en numerosas fórmulas de física y de cálculo.
¿Cómo seguir calculando con dígitos tan grandes? Con la llegada de las calculadoras y los avances tecnológicos, el avance fue posible. Así se calcularon los siguientes tres dígitos perfectos, teniendo el último de ellos alrededor de 770 cifras.
Con la llegada de los ordenadores, como el supercomputador Cray-2, se pudo seguir avanzando en estas operaciones que requerían cálculos altamente complejos.
En este nuevo siglo, la investigación de nuevos dígitos especiales no ha cesado. George Woltman ha desarrollado un proyecto de computación distribuida que se compone de programas que analizan números de M.
Gracias a este programa se han hallado muchos dígitos perfectos dado que se obtienen a partir de los números primos de Mersenne. El último y más elevado número descubierto es el 2 elavado a 57.885.161 - 1, el 25 de enero de 2013. De ahí se obtuvo el número perfecto más grande descubierto a día de hoy: 2 82 589 932 ( 2 82 589 933 − 1 ) 2^{82 589 932} (2^{82 589 933} - 1) 282 589 932(282 589 933−1). Este número perfecto tiene 34 850 340 cifras. No es tanto, ¿no? ¿Cuántas páginas necesitaríamos para escribirlo entero?
Pero ¿para qué sirven los números perfectos?
Los números perfectos no tienen una utilidad particular, en el sentido de que no se utilizan para resolver una ecuación, una factorización y no entran en el campo de la criptografía.
Antiguamente, eran considerados superiores a todos los demás y algunos vieron un papel místico en ellos: «El seis es un número perfecto en sí mismo, porque Dios creó todas las cosas en seis días, porque ese número es perfecto» - San Agustín en La ciudad de Dios (420 d.C.)
Las conjeturas en relación con los números perfectos son numerosas. (Una conjetura es una regla que nunca ha sido probada.) Aquí tienes tres:
- Los números perfectos euclidianos son todos pares, ya que uno de los factores es una potencia de 2.
- Todos los números perfectos conocidos terminan en 6 o 28, pero de nuevo eso puede no ser siempre así;
- Tampoco se ha demostrado que realmente haya infinitos números perfectos.
La prueba de los teoremas de los números perfectos
El teorema de Fermat en 1640: es Mn = 2 n - 1; si Mn es primo, entonces n es también lo es.
Para establecer que cuando 2 n - 1 es primo, n es primo, hay que demostrar la afirmación, si n es compuesto, entonces 2 n - 1 también es compuesto.
Es decir, n = ab, con a, b > 1, y la identidad xk - 1 = (x - 1) (x k-1 + x k-2 + • • • + x + 1) en la que x = 2a y k = b.
Entonces 2ab - 1 = (2a - 1) (2a (b-1) + 2a (b-2) + • • • +2a + 1), que muestra que 2n -1 = 2ab -1 es compuesto, ya que factoriza como dos factores, cada uno mayor que 1 (porque a > 1).
El teorema de Euclidiano: si Mn es primo, entonces 2n-1 Mn es un dígito perfecto.
Admitimos la función σ(n) como la suma de todos los divisores del entero positivo n. Un número perfecto k se caracteriza por σ(k) = 2k.
La función σ tiene la siguiente propiedad: si a y b son dos naturales primos entre ellos, entonces σ(ab) = σ(a)σ(b).
Por otra parte:
- como Mn es de los dígitos primos, tenemos σ(Mn) = 1 + Mn = 1 + (2n- 1) = 2n;
- σ (2n-1) = 1 + 2 + 22+ 23 + • • • + 2n-1 = 2n - 1 = Mn.
Entonces σ(2n-1 Mn) = σ (2n- 1)σ(Mn) = Mn 2n = 2 (2n-1 Mn).
¿Cuáles son los números perfectos?
Como ya decíamos, con todos aquellos en que el resultado que obtenemos al sumar divisores (un divisor es aquel que logra dividir una cifra para obtener un dígito que no es decimal) enteros son el mismo dígito. Hay solo tres números perfectos inferiores a 1000: 6, 28 y 496.
Aunque todos los matemáticos están de acuerdo en que existe una infinidad de ellos (nunca se ha demostrado), hoy en día solo conocemos 50, sin siquiera estar seguros de que no haya dígitos intermedios perfectos sin descubrir desde el 47.
El último dígito perfecto se descubrió en enero de 2018. El descubrimiento de un nuevo primo muy grande implica el descubrimiento de un nuevo perfecto y eso es lo que sucedió con el número 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Los números perfectos de 2n-1 (2n - 1) son números triangulares (e incluso hexagonales). Por otro lado, todos los perfectos, excepto el primero, son la suma de 2(n-1)/2 primeros cubos no pares. Por ejemplo:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Lista de números perfectos
En realidad no se puede decir que la lista es infinita, pues como ya decíamos se han encontrado 50; sin embargo, aquí están solo los primeros ocho dígitos perfectos:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 550.336
- 589.869.056
- 438.691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Números impares perfectos
Por el momento, no se sabe si hay perfectos impares. Todos los ejemplos están hechos con cada dígito par, pero eso no significa que no haya un dígito perfecto impar.
Aunque las investigaciones avanzan, ninguna ha podido afirmar o refutar esta hipótesis. Carl Pomerance ha publicado un método heurístico que sugiere la inexistencia de un número perfecto impar.
Números triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos
Sobre la base de los perfectos, a su vez hay dígitos triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos.
Los números triperfectos
Un dígito triperfecto es siempre par. Si hay un impar, es mayor que 1050. La suma de los divisores de un número triperfecto, incluido él, es igual a tres veces el número. Por ejemplo, 120 es un dígito triperfecto porque 23 * 3 * 5 = 120.
Solo conocemos 6 triperfectos:
- 120
- 672
- 776
- 818.240
- 476.304.896
- 001.180.160.
Los números multiperfectos
La suma de los divisores de un número multiperfecto, incluido él mismo, corresponde a k veces el dígito.
Los matemáticos han descubierto alrededor de 500 multiperfectos hasta el orden 8 y creen que conocen todos los multiperfectos de orden 3 a 7:
- 25x 33 x 5 x 7 es el primer tetraperfecto,
- 27x 34 x 5 x 7 x 11 x 17 x 19, el primer pentaperfecto,
- El más grande conocido es 7,3 101345
Los números hiperperfectos
Un número hiperperfecto es tal que n = 1 + k (o(n) - n - 1).
Un número 1-hiperperfecto es un dígito perfecto.
- Un número 2- hiperperfecto (HP) tiene la formulación 2o(n) = 3n + 1:
- 21, 2 133, 19 521, 176 661...
- Un número 3-HP tiene la fórmula 3o(n) = 4n + 2:
- 325 y ningún otro hasta n = 1 000 000
- 4-HP: 1 950 625, 1 222 640 625, 186 264 514 898 681 640 625
- No hay ningún 5-HP conocido
- 6- HP: 301, 16 513, 60.110 701, 1 977.225 901, 2.733.834.545.701, 232.630.479.398.401.
Saber los dígitos perfectos, triperfectos, multiperfectos e hiperperfectos no te ayudará a hacer los ejercicios de los cursos de matemáticas online dictados para secundaria, entonces mejor céntrate en las fracciones, la división euclidiana, el número i, los logaritmos o el razonamiento en geometría.
Pero si continúas con la matemática, quién sabe, tal vez los dígitos perfectos se conviertan en un tema de investigación por tu parte...
¿Qué es un número perfecto?
Es un dígito natural que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.
Apellidar «perfecto» a este tipo de números no es fortuito. La palabra perfecto, que proviene del latín perfectus, la define la Real Academia Española como: «adjetivo que determina a aquel o aquello que tiene el mayor grado posible de excelencia en su línea, que posee el grado máximo de una determinada cualidad o defecto», es decir, se trata de un elemento o ser que reúne un alto nivel posible de excelencia en relación con los demás elementos o seres de su misma naturaleza.
¿Y qué se considera perfecto en matemática?
Estarás pensando que eso de ser perfecto es un poco subjetivo, depende con qué se compare. Efectivamente, si nos vamos a la definición estricta del término, así es. No obstante, en matemáticas se ha asociado a la palabra «perfecto» una serie de características. Por lo tanto, si un número las cumple es perfecto y si no, no (por muy perfecto que nos parezca).
Recuerda: los divisores de un dígito natural positivo son otros dígitos naturales enteros que lo pueden dividir y el resultado del cociente es otro número natural positivo y el resto es 0; es decir, es divisor cuando la división es exacta.
Cada dígito tiene una cantidad determinada de divisores, por ejemplo:
Vamos a probar con el 6.
El 6 se divide entre:
- 6:1=6
- 6:2=3
- 6:3=2
- 6:6=1
Los que dividen al 6 son 1, 2, 3 y 6. Vamos a sumarlos (excepto el 6): 1+2+3=6
¿Es 6 un número perfecto? 6=6 ¡Sí!
El siguiente es el 28. Lo dividen: 1, 2, 4, 7, 14, 28. Sumamos: 1+2+4+7+14=28. ¡Eureka!
Le siguen el número 496 y después el 8128. Como ves, cada vez tenemos dígitos de mayor valor, por lo que la factorización es compleja.
Ahora que ya está claro qué son los dígitos perfectos, vamos a conocer un poco sobre su historia.
Curiosidades de los números perfectos
- Todos los dígitos perfectos hallados son pares y terminan en 6 u 8.
- Hoy en día conocemos un total de 48 dígitos perfectos.
- Aún no se ha conseguido aclarar si existen infinitos dígitos perfectos o no.
Tanta perfección al final termina abrumando. Y no es para menos, el mundo de las matemáticas es precioso y abrumador a la vez. Es increíble todo lo que se ha descubierto (cíomo el número Pi, por ejemplo), pero más increíble aún es saber que esto es menos de un tercio de todo lo que queda por descubrir.
Ciencia, tecnología y ser humano buscando (¿infinitamente?) nuevos enigmas y descubrimientos.
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