«La esencia de las matemáticas es la libertad»
Georg Cantor
Es todo número natural que admite solo dos divisores distintos, enteros y positivos: estos divisores son el 1 y sí mismo.
Esto también nos indica que no lo podemos dividir por otros números naturales que no sean 1 y sí mismo, pues el resultado que vamos a obtener va a ser un decimal, y si lo dividimos por otro número y el resultado no es decimal, el número dividido nunca sera un primo.
Según esta definición, el número 0 y el 1 no son números primos, ya que el 0 es divisible por cada entero positivo y el 1 solo es divisible por un entero positivo.
Durante años, algunos matemáticos admitieron el 1 como número primo, basados en que cumple con las exigencias de divisibilidad, pero esta teoría fue abandonada a principios del siglo XX porque en matemática el 1 solo tiene un divisor.
¿El número 1 es compuesto?
El 1 tampoco es compuesto, ya que no se puede colocar como el producto de dos factores primos, dicho de esta manera el cero tampoco entra en los compuestos, pues las consideraciones hechas son solo para naturales positivos y el cero no es positivo.
¿Cuántos divisores tienen los números primos?
Como ya decíamos los dígitos considerados dentro de este conjunto, deben cumplir una sola regla, tener dos divisores, el 1 y sí mismo, aquí podemos ver algunos ejemplos:
¿El 11 es primo? Para poder hacer la división, debemos buscar los números menores a 11, y comenzamos a dividir:
11/11 = 1, 11/10= 1.1 ... Si realizamos todas las ecuaciones, veremos que este solo es divisible entre 1 y entre sí mismo, por lo cual si es un número primo.
Aunque también podemos saber si es primo con ayuda de los múltiplos, el 11 no es múltiplo de ningún dígito que esté entre el 1 y 11 (2,3,4,5,6,7,8,9,10).
Ahora, ¿El 21 es primo?
Si aún no entendiste no te preocupes, el 23 % de los estudiantes de secundaria tienen dificultades en matemática y sobre todo con los números más famosos de las matemáticas.
Las clases particulares y una pizca de curiosidad pueden remediarlo. Puede que sea por curiosidad que te hayas encontrado con este artículo, así que quédate. Vamos a hablar sobre los números primos y a las múltiples formas de aprender a encontrarlos.
Cómo se sacan los números primos
La noción de número primo es uno de los fundamentos básicos de la aritmética y se estudia desde primaria.
Hay muchas aplicaciones industriales de aritmética el número i y especialmente de los números primos. Así, a lo largo de tu vida, dependiendo de tu profesión, te enfrentarás más o menos a menudo con este concepto matemático.
¿Cuáles son los números primos?
Esta pregunta no tiene una respuesta cerrada, ya que no hay una lista exhaustiva finita de números primos. Sabemos que hay una infinidad de ellos desde la antigüedad gracias al teorema de Euclides sobre los números primos.
Sin embargo, es posible conocer los números primos delimitando una apertura y un cierre. De 0 a 100, por ejemplo, los números primos son 25: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Podemos memorizarlos al igual que el número e. Es bastante fácil recordar que hay 25 números primos entre 0 y 100 y luego memorizarlos a largo plazo.
El algoritmo por pruebas de división
Los primeros métodos para calcular los números primos se llaman pruebas o test de primalidad y se basan en pruebas de divisibilidad por todos los números más bajos que la raíz cuadrada del número elegido:
- Si es divisible por uno de ellos, es compuesto;
- Si no es divisible por uno de ellos, es primo.
Sin embargo, este algoritmo es largo y tedioso. Muchas divisiones son inútiles, especialmente por 4 si el número no es divisible entre 2.
La criba de Eratóstenes
Basada en el método de pruebas de divisiones, la criba de Eratóstenes enlista los números primos menores que un valor dado.
Si has aprendido este método en el colegio, aquí tienes un recordatorio:
- Se empieza enlistando los números de enteros 2 an (120 en el ejemplo);
- Un número es primo si es el primer número de la lista que no está tachado (spoiler alert:el primero es siempre 2);
- Luego tienes que tachar todos los números múltiples del 2, comenzando con su cuadrado;
- Repite los pasos hasta que busques múltiplos de números mayores que la raíz cuadrada den, (aquí 120).
La raíz cuadrada de 120 es aproximadamente 10,9.
Y como una imagen vale más que mil palabras, aquí tienes los números primos del 2 a 120:
Otros algoritmos para encontrar un número primo
Existen otras posibilidades para reconocer un número primo, empezando por una variante de la criba de Eratóstenes, llamada criba de Sundaram.
La criba de Sundaram consiste en listar todos los números naturales impares compuestos a través de secuencias aritméticas colocadas en columnas. Por complementariedad, es posible deducir cuál es primo y cuál no.
Pero hay otros métodos:
- La criba general de los campos numéricos,
- La prueba de primalidad de Solovay-Strassen,
- La prueba de primalidad de Miller-Rabin,
- El algoritmo AKS,
- Los primos de Proth,
- Los primos de Woodall,
- Los primos de Cullen...
Los números primos particulares
Hay números primos particulares, definidos por restricciones particulares.
Los números primos de Pitágoras
A veces los números primos de la fórmula 4n + 1 (con n, entero natural) son llamados números primos de Pitágoras. Por ejemplo, el 5 se llama de Pitágoras.
Se dice que un número primo impar es de Pitágoras si es la suma de dos cuadrados.
Los números primos de Mersenne
Los números primos de esta fórmula donde p es un entero natural se llaman números primos de Mersenne.
Hoy en día, se conocen 50 números primos de Mersenne, pero se siguen buscando más con la ayuda de la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer.
El último conocido fue descubierto en enero de 2018. ¿Quizás encuentres tú el siguiente?
Los números primos de Fermat
Los números de la fórmula Fn = 2° + 1 se consideran números de Fermat.
Sin embargo, F5 solo se considera semi-primo, ya que es posible hacer la divisibilidad por 641. Los investigadores continúan buscando otro número de Fermat.
Números primos gemelos
Si dos números primos solo se diferencian por 2, entonces se les llama gemelos.
Por ejemplo, 3 y 5 son gemelos, 5 y 7 son gemelos, y 11 y 13 son gemelos, pero hay infinitos números primos gemelos.
¿Para qué sirven los números primos?
Conocer los números primos tiene muchas utilidades. Por ejemplo, en un cálculo fraccionario, la descomposición en factores primos facilita la tarea y puede ayudar a simplificar una fórmula matemática.
Los números primos, al igual que el número Pi, se han visto como un tema puramente matemático. Pero esto cambió en la década de los 70 con la llegada de nuevos sistemas de criptografía. Hasta entonces, la criptografía se basaba en la misma clave para cifrar y descifrar un mensaje, lo cual se llamó criptografía simétrica.
A finales de los 70, se desarrolla un sistema de criptografía asimétrica gracias a las propiedades de los números primos y la factorización. Así, se usan dos claves: una para cifrar y otra para descifrar.
Se usa el producto de dos números grandes que no sean decimales (200 dígitos) para la clave que cifra. Y para calcular la clave de descifrado, hay que conocer sus dos factores primos. Este es el sistema que se sigue usando hoy en día para crear firmas digitales.
Estos han permitido resolver problemas aritméticos como el teorema de los dos cuadrados, el teorema de los cuatro cuadrados o la ley de reciprocidad cuadrática.
Los números primos todavía están rodeados de misterio
Aunque en primaria y secundaria, nos centramos en las fracciones, las ecuaciones, los logaritmos, el número áureo, los números racionales o la división euclidiana, los matemáticos no han terminado con los números primos y aún surgen preguntas:
- Los problemas Landau:
- La conjetura de Goldbach,
- La conjetura delos números primos gemelos,
- La conjetura de Legendre.
- La existencia de una infinidad de números primos de la fórmula2 + 1;
- La existencia de una infinidad de números primos de Sophie Germain;
- La conjetura de Polignac;
- La hipótesis H de Schinzel;
- La conjetura de Bateman-Horn;
- No sabemos si hay una infinidad de números primos de Fermat o de Mersenne o de Fibonacci;
- Tampoco se sabe si hay una infinidad de números primos factoriales;
- Una hipotesis de Daniel Shanks: la conjetura indica que todos los números primos aparecen en la secuencia de Euclid-Mullin;
- La espiral de Ulam (o el reloj de Ulam) aún no está completamente explicado.
¿Cómo memorizar cada número primo?
Las técnicas mencionadas aquí pueden usarse para memorizar cualquier número real. Se ha reconocido que, para retener una serie de cifras, por ejemplo, los primeros 25 números primos, tienes que atraer a tus sentidos y usar tus emociones.
Por ejemplo, si tienes una memoria visual, puedes asociar números con objetos o personajes:
- Al 0 con un círculo;
- Al 1 con un lápiz, un palo;
- Al 2 con un cisne;
- Al 3 con un caballito de mar o un camello;
- Al 4 con un velero;
- Al 5 con una serpiente, una S o un gancho;
- Al 6 con un caracol;
- Al 7 con un acantilado visto de lado;
- Al 8 con un reloj de arena;
- Al 9 con un globo colgando de un hilo.
Da rienda suelta a tu imaginación creando historias a partir de objetos.
Más complicado, pero concebible si logras memorizar palabras mejor que los números, es posible asociar una palabra con cada número del 0 al 100 y luego hacer oraciones con estas palabras.
Pero entre nosotros, es mejor aprender a encontrar cada número primo que tratar de memorizarlos todos, excepto si quieres impresionar a tus amigos y familiares, y para esto último bastará con que sepas los números perfectos.
Respuesta a la pregunta: ¿21 es un número primo? No lo es, pues, la divisibilidad de este nos deja encontrar tres factores 1, 7 y 21.
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