Hacer bien los ejercicios de matemáticas es una hazaña técnica para muchos alumnos, desde primaria a bachillerato: desde el número e, positivos, negativos, hasta la función exponencial, desde el álgebra hasta la geometría, a veces es difícil visualizar la matemática de manera concreta.
Es decir, las clases de matemática no siempre son tan concretas: esto se evidencia en el número i puro, que es uno de los números más famosos de las matemáticas y su uso puede parecer bastante difícil.
El álgebra, una parte importante de la matemática
Evidentemente, ¡en cada módulo las cifras no pueden faltar! Pero es cierto que no todas las cifras se usan de la misma manera, en el sentido de que una suma y los números complejos no tienen las mismas virtudes.
El uso de los números es muy variado y es necesario un aprendizaje meticuloso. Solo en álgebra, llevaría cientos de horas ver todo el módulo. Pero ciertos dominios, como los números i, tienen propiedades muy particulares y, por definición, complejas.
Precisamente, en su forma algebraica, los números complejos se presentan de la siguiente manera, con la fórmula:
a + ib
El número a corresponde a la parte real, mientras que la parte b corresponde a la parte imaginaria.
Primero hay que entender que los números complejos incluyen tanto reales como imaginarios. Más exactamente, existen las denominaciones siguientes:
- N = conjunto de naturales,
- Z = conjunto de enteros relativos,
- D = conjunto de decimales,
- Q = conjunto de racionales,
- R = conjunto de reales,
- C = conjunto de complejos.
El número imaginario puro, llamado i, forma parte del área de los números complejos, al que aplicamos el cuadrado -1. Vamos a explicar con mayor detalle en este artículo los entresijos de este fascinante número.
El número i: propiedades y definición
El número i… Eh… una letra del alfabeto más bien, ¿no?
El número i se define en mates como un número complejo cuya asimilación es sencilla, pero requiere facultades de abstracción. Nos explicamos:
Algunas ecuaciones de segundo grado no tienen una solución real porque no hay un número real cuyo cuadrado sea negativo. Esto significa que uno no puede multiplicar un valor por sí mismo sin producir un resultado positivo: por ejemplo, 2² es 4, al igual que (-2)².
Para comprender esta propiedad matemática, hay que remontarse a las clases de matemática de primaria, donde se argumenta la regla de los signos:
- +*+= +.
- -*- = +
- -*+= -.
- +*-= -.
Así, entre las figuras geométricas, el teorema de Pitágoras y Tales, se definen las raíces cuadradas de la siguiente manera: la raíz (cuya representación es √) de x es el número que, elevado a 2, es igual a x.
¿Adónde queremos llegar? A lo largo de los muchos siglos de la historia de las mates, la búsqueda de las raíces cuadradas para los números negativos ha llevado a la invención de los complejos como i.
El conjunto de complejos se considera como una extensión del conjunto de números reales que contienen un número imaginario de i exponente (a;b) tal que i = raíz cuadrada de -1 e i² = -1, con el cuadrado de (-i) también igual a -1.
Cualquier número de la fórmula b i, donde b es diferente del número 0 es un número i puro.
Si la raíz cuadrada de -1 no existe, no podemos estimar decimales exactos o aproximados como lo hacemos para las raíces de números positivos (ejemplo, raíz cuadrada de 5 = 2,236).
Preguntas:
- ¿Qué número obtenemos si elevamos 3i al cuadrado?
- ¿Cuál de estos dos números tiene un cuadrado de -16 (-4 o 4i)?
(Las respuestas están al final del artículo).
La historia del número i
Este número complejo surge en el siglo XVI, cuando Gerolamo Cardano (1501-1576), un matemático italiano, presentó para resolver una ecuación de tercer grado.
Raphael Bombelli (1526-1572 o 1573) es el primer matemático que elaboró reglas de cálculo sobre «números imposibles» en Álgebra, donde aparecen las primeras propiedades de los números complejos.
El número i se origina a partir de la búsqueda de soluciones no acertadas para ecuaciones de tercer grado, ecuaciones polinomiales con una raíz cúbica.
En el año 1637, el filósofo francés René Descartes (1595-1650) bautizó estos valores imposibles de números i. Después, la notación i aparece en 1777 bajo el impulso de la obra de Leonhard Euler (1707-1783), el inventor del número e para calcular la función exponencial, para los números que califica de imposibles o imaginarios.
Durante el siglo XIX, gracias en particular a las obras de C.F. Gauss (1777-1855), estos números complejos i puros terminan siendo considerados como números por derecho propio.
El interés de los números complejos como e o i es poder, según Augustin Louis Cauchy (1789-1857), «escribir de forma abreviada resultados bastante complicados en apariencia», con «una combinación de signos algebraicos que no significa nada en sí misma».
Para facilitar el cálculo algebraico, se introduce cada dígito complejo en la representación geométrica.
¿Qué es un número imaginario?
Es el resultado de la raíz cuadrada de un número negativo, hay muchos usos y aplicaciones de un número complejo, aunque cuando se hacen ejercicios de matemática para estudiar para tus exámenes no veas demasiada utilidad en calcular números i...
Pero, ¿para qué se originaron los números imaginarios? De hecho, el número i permite resolver ecuaciones que no tienen solución.
Pero en mates, es un error considerar que existen ecuaciones sin soluciones, ya que depende del conjunto de números considerados.
Aquí tienes dos ejemplos:
- La ecuación x + 8 = 1 no tiene solución en el conjunto de naturales (donde x es igual a -7), pero sí en el conjunto de relativos.
- La ecuación x² = 2 (x = √ de 2) no tiene respuesta en el conjunto de números racionales, pero sí en el conjunto de números irracionales.
¿Y por qué no imaginar que 2 + 2 es 10, ya que estamos...?
De hecho, gracias al número i ha sido posible resolver absolutamente todas las ecuaciones, ya sean de números enteros, irracionales o decimales.
El uso del número i también ha permitido avanzar en la investigación física y en la electricidad, ya que permitio el estudio de los circuitos impresos de los ordenadores y por lo tanto, es la base de la revolución informática del siglo XX.
La transición a los números puros complejos e i permite la resolución de problemas sin solución sin este número i, para algunas integrales, por ejemplo.
Los ingenieros utilizan cada número complejo cuando tienen que calcular formas de onda (en acústica o electrónica) o de flujo (aerodinámica, hidrodinámica) y se utilizan en el uso de radares, imágenes o sonares.
Es con la ayuda de los números complejos y el número Pi que los ingenieros pueden describir el comportamiento de los circuitos electrónicos.
Dónde aprender los números imaginarios elevados a una potencia
¡Busca a tu profesor ideal de matemática en Superprof! En San José, por ejemplo, hay inscritos alrededor de 700 profesores en la plataforma para dar clases de mates a domicilio y la primera es gratis.
Pero si recibir clases particulares a domicilio te resulta demasiado costoso, también existe la respuesta de los recursos en línea gratis. Aquí tienes algunos sitios, canales de video y tutoriales.
Khan Academy
Este sitio para aprender mates en todos los sentidos te permite repasar cada número complejo, tanto en lecciones teóricas como en videos.
YouTube
Simplemente escribiendo «número i» en la barra de búsqueda de YouTube, obtendrás muchos videos gratis para entender este número i.
Dado que puede parecer difícil hacer cálculos con un número i, te recuerdan que es un concepto matemático para simplificar los cálculos.
Hay muchos videos relacionados con el número i o los números perfectos de acceso libre. De esta manera podrás hacer ejercicios interactivos de matemática sin el estrés de tener al profesor detrás de ti.
Estudio de caso con el número i
Concretamente, ¿cómo se utiliza el número i? Vamos a coger una fórmula simple y a explicar las diferentes etapas del razonamiento, con referencia a la parte introductoria sobre el álgebra: a + bi. En este caso, las letras «a» y «b» hacen referencia a cifras R (digito real), mientras que i se refiere a una cifra imaginaria. ¿Cómo se calcula?
En el contexto de una suma o una resta, procederemos a la operación matemática separando la parte real de la parte imaginaria, lo que dará:
(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
Para hacer una multiplicación con dos números complejos, usaremos la doble distributividad y la propiedad i2 = -1. Esto da el ejemplo siguiente:
(2 + 3i ) × (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i² = -7 + 22i
Para el cociente, es decir, las divisiones, la operación tiene mayor complejidad. Primero multiplicaremos los dos números por el «conjugado» del segundo, y simplificamos el resultado. Esto equivale a decir que el conjugado de un número complejo a + bi es el número a - bi.
Te recomendamos encarecidamente que practiques en papel antes de aprender a usar una calculadora con cada número complejo. Lo importante es conocer las reglas y el razonamiento científico antes de poder realizar los cálculos tú mismo.
Entonces, ¿es tan complicado?
Recursos en línea para aprender los números puros i
La ventaja de Internet es que hay una infinidad de recursos para estudiar, repasar o aprender hasta temas como el número áureo. ¿Qué tipo de página podemos encontrar sobre los números complejos e i en la red? Aquí tienes algunas de ellas:
- Sitios especializados en la enseñanza, como Aula fácil, que ofrece contenido en matemática.
- Sitios para establecer contacto con profesores de matemática, como nuestra plataforma Superprof, que te permite beneficiarte del apoyo personalizado según tu nivel.
- Sitios de ejercicios en línea de mates, tanto de contenido oficial (exámenes oficiales) como de contenido nuevo.
En cuanto a los sitios de enseñanza general, estos recursos son ideales si tienes un nivel principiante y quieres aprender desde cero a descubrir cifras con complejos o los números primos por primera vez. Las fórmulas de los números imaginarios serán relativamente básicas y los ejercicios estarán orientados a la adquisición de los conceptos básicos.
Para subir de nivel, tienes que recurrir a sitios especializados en la matemática. Por ejemplo, en matesfacil.com, es posible acceder a contenido adaptado a tu nivel, aprender desde cero, principiante, intermedio o avanzado. Los ejercicios son a menudo interactivos, con una corrección inmediata de las respuestas, con comentarios sobre cómo razonar.
Para profundizar en tu comprensión sobre los números i o i puros, lo mejor es ponerse en contacto con un profesor particular de mates. ¿Por qué? Simplemente, porque tiene conocimientos avanzados y puede darte las claves para entender estos números complejos, por ejemplo.
La mayoría de estos profesores han pasado por eso y su experiencia es de gran valor para guiarte en tu aprendizaje.
En Superprof, hay dos factores de búsqueda: según el nivel y según la ubicación geográfica. Entonces, ¡ahora es posible encontrar un profesor que pueda ayudarte a alcanzar tus metas en poco tiempo y cerca de casa!
Una vez que hayas aprendido los conceptos básicos de los números i, hayas consolidado tus conocimientos y tengas un examen a la vista, puedes recurrir a los sitios de ejercicios de matemática. Estos recursos son perfectos para practicar de forma regular o intensiva en una disciplina específica de la matemática, como el álgebra.
Cómo repasar los números i puros
Es cierto que una página en línea es una excelente manera de descubrir los números complejos y comprenderlos, especialmente porque ofrecen muchas soluciones para repasar los conceptos, desde profesores particulares hasta sitios de formación especializada en mates.
Sin embargo, los recursos en papel son una gran ayuda para estudiar mates. Nada mejor que un libro con ejercicios de números complejos o presentaciones con fórmulas matemáticas adaptadas. Después de todo, los exámenes se hacen en papel, no con un ordenador, entonces es mejor acostumbrarse.
Aquí tienes algunos ejemplos de libros de referencia para estudiar cada número complejo y los números i:
- Una introducción a los números complejos, de Francisco Rivero Mendoza
- Números complejos y sus aplicaciones a la geometría, de I.M. Yaglom
- Números complejos: Álgebra, de Christiam Manuel Huertas Ramírez
- Trigonometría y números complejos, de José Cólera Jiménez et al.
Son obras generales, dirigidas tanto a estudiantes, principiantes como a aficionados de cada número complejo. Ofrecen una introducción general, así como estudios de casos concretos con números i.
La respuesta a la pregunta 1 es -9 (porque (3i) ² = 3² x i² = 9 i², entonces i² = -1).
Y para la pregunta 2, es 4i porque la √ de -16 es imaginaria, entonces que es 4i.
¿Te gustó este artículo? ¡Califícalo!
Loading...
