A su vez, llamado razón dorada, proporción áurea o la divina proporción, es una proporción definida como el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b). Esta suele equivaler a 1.618.
Es designado por la letra griega φ (phi). Es un dígito irracional, única solución de la ecuación x2 = x + 1. Su valor es alrededor de 1,6180339887.
Una infinidad de alumnos van a clases particulares, muchos de ellos de matemáticas buscando entender temas como el número e. Aunque se suele considerar una asignatura difícil, estas pueden ser divertidas y contener misterios fascinantes junto con los números más famosos de las matemáticas. Vamos a hablar de uno de ellos: el número áureo.
Historia del número áureo
La pirámide de Keops (2600 a.C.) es para muchos científicos el origen de la P. áurea (proporción áurea).
Es muy antigua y se usó inicialmente en geometría, probablemente por los pitagóricos. Lo usaron para construir pentágonos usando triángulos isósceles. En ese momento, no se usa de manera aritmética, ya que los pitagóricos piensan que cualquier dígito es racional. Sin embargo, el número áureo es irracional.
Pero en realidad el primer texto que hace referencia a este fue escrito por Euclides (300 a.C.), que lo define de la siguiente manera: «se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor, como el segmento mayor es al segmento menor».
No obstante, nos podemos remontar más atrás de este primer texto hallado para dar con el descubrimiento del número áureo. Platón está sin duda en el origen del estudio del mismo como objetos de investigación por derecho propio.
La Edad Media
El matemático, astrónomo y geógrafo persa Al-Khawarizmi aporta una nueva perspectiva a la proporción dorada en el siglo VIII al proponer varios problemas que consisten en dividir una longitud de diez unidades en dos partes. La solución de uno de ellos es el tamaño inicial dividido por la P. áurea.
Pero es Fibonacci quien habla de las ecuaciones del matemático persa en Europa, especialmente a través de su famosa sucesión de Fibonacci, sin mostrar un vínculo con la proporción áurea.
La irracionalidad de este la demuestra Campanus de Novara, matemático, astrónomo, astrólogo y médico italiano, a través del descenso infinito que se puede ver en la espiral dorada.
El Renacimiento
En el Renacimiento, aparece un nuevo nombre para este, se le llama divina proporción y se le atribuye una intervención de entidades divinas, según el libro del franciscano italiano Luca Pacioli (creado por Pacioli pero ilustrado por el famoso Leonardo da Vinci).
Fue en esta época cuando la sucesión de Fibonacci se relaciona con la P. áurea.
Esta relación se descubrió mediante una nota anónima y el resultado lo encuentra realmente el astrónomo alemán Johannes Kepler, quien quedará fascinado por él durante toda su vida.
El nacimiento de un mito en el siglo XIX
Durante este siglo, el número pierde su interés en matemática, pero gana cada vez más interés como sistema.
El filósofo alemán Adolf Zeising cree que este puede permitir comprender tanto el ámbito científico como el artístico. A pesar de un dudoso enfoque científico, las teorías de Zeising gustan, sobre todo, en Francia. Gracias a la P. áurea, sería posible explicar la belleza.
Incluso a lo largo del siglo XX, sigue fascinando a matemáticos, artistas que quieren entender la belleza y arquitectos en la belleza de cada construcción que realizan.
Al igual que los números perfectos, la P. áurea es una parte muy importante de la historia de las matemáticas.
El número áureo en geometría
Su primera definición es geométrica. El teorema es el siguiente: «Dos longitudes a y b (estrictamente positivas) respetan la proporción áurea si la relación de a sobre b es igual a la relación de a + b sobre a».
A la luz de los trabajos de Euclides, surge una nueva definición:
«El número áureo es real positivo, denotado por φ, igual a la fracción a/b si a y b son dos dígitos en proporción de extrema y media razón».
Esta es la fórmula correspondiente: φ = (1 + √5) / 2.
φ es la solución de una ecuación de segundo grado, que da una tercera definición: «El número áureo es la única solución de la ecuación x2 – x – 1 = 0».
Gracias a estos cálculos, es posible dibujar proporciones de extrema y media razón usando un compás, una regla y una escuadra:
- Dibuja un círculo C de radio 1.
- Al final del radio 1, dibuja un segmento de longitud 1/2, perpendicular al radio.
- Dibuja el círculo C’ de radio 1/2 colocando la punta del compás al final del segmento de longitud 1/2 previamente dibujado.
- Dibuja el segmento desde el centro del círculo C hasta el final del círculo C’, pasando por el centro del círculo C’.
- La medida de este segmento tiene el valor del número áureo.
También tenemos la posibilidad de integrar un cuadrado de lado a – b en el rectángulo áureo de lados b × (a – b). Al añadir un cuarto de círculo en cada cuadrado, obtenemos una espiral, llamada espiral dorada.
El número áureo en aritmética
El otro método para definir el número áureo es algebraico. En álgebra, el número áureo se define como la única raíz positiva de las ecuaciones.
Usando ambos enfoques, algebraico y geométrico, es posible resolver una ecuación de segundo grado. Esto se llama álgebra geométrica. φ 2 = 1 + φ tiene por solución el número áureo.
La proporción dorada se puede alcanzar usando la fracción continua en el infinito: 1 + (1/(1 + (1/1))).
La sucesión de Fibonacci también proporciona aproximaciones de la proporción áurea
La omnipresencia del número áureo
Como puedes ver, la P. áurea, al igual que el número Pi está omnipresente en las mates, pero también en aquello que nos rodea. En la naturaleza, está presente a través de varios elementos:
- Las escamas de una piña de pino generan espirales logarítmicas que pueden producir la sucesión de Fibonacci.
- Los estambres de un girasol responden al mismo fenómeno.
- Los cristales de cuarzo se forman en un patrón pentagonal, en el que interviene el número áureo.
Pero la filotaxis del girasol y la cristalografía de cuarzo no siempre siguen las reglas de ésta, por lo que es difícil ver un fenómeno místico o divino. Tal vez sea solo una coincidencia...
La cuestión de si el cuerpo humano está vinculado o no al áureo se ha planteado repetidamente, ya sea de naturaleza científica, artística o estética.
Zeising intentó medir el cuerpo humano utilizando solo el número áureo, pero lo descartó rápidamente. Las proporciones del cuerpo humano así dibujadas no eran realistas. Además, las dimensiones del cuerpo humano cambian constantemente. Los seres humanos crecen a medida que evolucionan y no necesariamente de manera uniforme.
Sin embargo, la búsqueda de la relación entre esta y el cuerpo humano no se ha abandonado. Hoy en día, los científicos se centran en el cerebro para descubrir un vínculo, pero esta teoría sigue siendo controvertida.
Esta, no solo fascina a los científicos, sino que está presente en muchos ámbitos como la pintura o la construcción, especialmente la época del Renacimiento. Lo encontramos en el cuadro de El nacimiento de Venus de Botticelli.
Pero hay veces en las que son interpretaciones tardías y no hay voluntad por parte del artista, como lo sugiere el cuadro de San Jerónimo de Da Vinci en el que encontramos el rectángulo áureo.
Su uso en el diseño de muchos edificios antiguos es un tema de controversia. Es difícil saber si los constructores eran conscientes del uso de la cifra áurea o si es una sobreinterpretación de los arqueólogos.
Hay varios ejemplos:
- El teatro de Epidauro (Grecia, siglo IV a. C.).
- La gran pirámide de Guiza (Egipto, siglo XXVI a. C.).
- La fachada del Partenón según las convenciones (Grecia, 447-432 a. C).
- El gran altar de Pérgamo (actual Turquía, 188 a. C., conservado en Alemania).
Por otro lado, en el siglo XX, el arquitecto suizo Le Corbusier (Charles-Édouard Jeanneret-Gris) teoriza sobre el uso de la proporción áurea y crea un sistema de medidas detallado llamado Le Modulor, que sigue la estela de otros pensadores como Da Vinci en la búsqueda de la relación matemática entre las medidas del ser humano y la naturaleza.
Le Corbusier utiliza el Modulor en muchas de sus construcciones, como en la «ciudad radiante» de Marsella o la capilla de Notre-Dame-du-Haut de Ronchamp.
Este fenómeno no solo afecta a lo visual, sino que se puede aplicar a lo auditivo. De este modo, en la búsqueda del número áureo música en la armonía y el ritmo, la aproximación más cercana al número áureo es la sexta menor obtenida por dos sonidos cuya frecuencia define una relación de 8/5 = 1,6.
Y podríamos continuar la lista, ya que la presencia del número áureo, así como los números primos fascina enormemente y es el tema de teorías científicas y verificadas, algunas en mayor medida que en otras. Algunos lo han denominado «el número de Dios», ya que parece que está en todas partes.
La sucesión Fibonacci
Fibonacci es el apodo del italiano Leonardo de Pisa (1173-1241). Este estudioso ayudó a difundir el sistema de numeración indo-arábiga por Europa; hasta el momento lo que se utilizaba era la numeración romana.
Es una serie infinita de números naturales. Comienza con el número 0 y sigue con el número 1. ¿Cómo continúa la serie? No, no viene el 2 después. Cada número que continúa la serie es la suma de los dos anteriores. Hemos empezado con 0 y 1 y al sumarlos, el resultado es 0 + 1 = 1. Por lo tanto, la secuencia es: 0, 1, 1.
¿Cuál es el siguiente número? Pues cogemos los dos últimos y los sumamos: 1 + 1 = 2. Entonces: 0, 1, 1, 2. Y así sucesivamente. Así, los primeros dígitos de está son:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 114, 233, 377, 610, 987, 1597, 2554, 4151...
La lista es infinita.
Esta serie se aplica en distintos campos del conocimiento como las ciencias de la computación, las mates o la teoría de juegos. No obstante, lo realmente impresionante es como la encontramos en la naturaleza.
En este punto nos recuerda a la razón dorada, ya que se desliga de lo estrictamente matemático y la encontramos en los elementos que nos rodean.
¿Quién podría pensar que la disposición de las hojas de las alcachofas sigue una secuencia lógica que corresponde con la secuencia planteada por L de Pisa? Lo mismo sucede con partes de los girasoles, el brócoli o las piñas.
Encontramos no obstante registros de está, mucho más atrás en la historia. Parte del mérito se le atribuye a pensadores como Pingala (que se cree que vivió durante el siglo III a. C.), el prosodista indio Virahanka (siglo VI o VII) y Jema Chandra, polímata y poeta indio.
La secuencia descrita como tal y dada conocer por L de Pisa fue elaborada como una solución a un problema sobre los hábitos de apareamiento de los conejos.
Los pensadores y ganaderos del momento no acertaban con la lógica que había detrás de la reproducción de los conejos.
Partiendo de la base de que tienes inicialmente una pareja, ¿cómo saber cuántas parejas tendré en x meses sabiendo que cada mes se puede cruzar una pareja y obtener otra pareja? Hay que tener en cuenta que el conejo tarda un mes en llegar a la edad madura para poder reproducirse.
A continuación podrás consultar como se configura mes a mes el nacimiento de nuevas parejas y además podrás saber el número de parejas que tendrás.
Al empezar el mes 1 nace la primera pareja de conejos (pareja A) la cual nos vamos a llevar para que tengan más conejos. Por lo que al inicio del mes 1 tenemos 1 pareja.
Al final de este primer mes, la pareja alcanza su madurez reproductiva, por lo que esta se cruza y tarda otro mes en dar a luz a nuevos conejitos. Pasa este segundo mes y al final la pareja A da a luz a la pareja B y se vuelve a cruzar a la pareja A.
Ahora tenemos (1+1) 2 parejas en total. Al final del mes 3 la pareja A da a luz a la pareja C y la pareja B cumple 1 mes. Se cruzan las parejas A y B (tenemos 2+1 = 3 parejas en total). Al acabar el mes 4, las parejas A y B dan a luz a D y E. La pareja C cumple 1 mes.
Se cruzan las parejas A, B y C. Ahora tenemos 3+2=5 parejas en total. Cuando finaliza el mes 5, las parejas A, B y C dan a luz a F, G y H. D y E cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D y E. Tenemos un total de 5+3=8 parejas. Luego, se termina el mes 6 y las parejas A, B, C, D y E dan a luz a I, J, K, L y M. F, G y H cumplen un mes. Se cruzan A, B, C, D, E, F, G y H.
Tenemos, por lo tanto, 8+5=13 parejas en total. Y así sucesivamente... No vamos a negar que puede ser un poco difícil leerlo así de corrido, pero con lápiz y papel o a través de imágenes lo verás claro.
Como hemos mencionado, esto no se aplica sólo a la reproducción de los conejos, sino que parece repetirse en la naturaleza.
Atención: si divides cualquier número de Fibonacci por el anterior, por ejemplo, 55:34 (= 1,617), 21:13 (= 1,615), 5:3 (= 1,66), 610:377 (= 1,62) la respuesta siempre es cercana a 1,61. ¿No te parece increíble?
Así mismo, este número que siempre sale haciendo las divisiones, que sería exactamente el 1,61803, se ha ganado el nombre de número áureo o número de oro. Como ya hemos comentado, este número mágico se simboliza con la vigésimo primera letra del alfabeto griego, phi, φ (en mayúsculas Φ).
Si cogemos esta cifra, el número phi, y la aplicamos a las medidas de un rectángulo, obtendremos el rectángulo dorado. Se considera que este es una de las formas geométricas muy satisfactorias visualmente.
Como no, a raíz de este rectángulo dorado se obtiene otro elemento en oro. De oros va la cosa. Es la llamada espiral dorada, que se crea al hacer cuadrados adyacentes de dimensiones de Fibonacci. La perfección dentro de la perfección.
¿Todo lo que te hemos contado no te ha impresionado? Espera que hay más. En tu propio cuerpo encontrarás estos números de oro. Como hemos mencionado, por algo se denomina número de Dios, y es que está en todas partes. Veamos algunos ejemplos:
-La distancia del ombligo hasta los pies y de la parte superior de la cabeza al ombligo es igual a la proporción de oro.
-Una molécula de ADN mide 34 angstroms x 21 angstroms en cada ciclo completo de la espiral de doble hélice. En la sucesión de Fibonacci el 34 y el 21 son dígitos sucesivos.
-En los dedos, cada sección desde la punta de la base hasta la muñeca es más grande que la anterior en aproximadamente la proporción del número phi.
Esto son hechos, pero también ves hay muchas conjeturas. Se mantiene que el cerebro humano prefiere los objetos y las imágenes que contienen la proporción de oro. ¿Qué opinas?
Se afirma así mismo que nos sentimos atraídos por caras que presentan proporciones áureas entre el ancho de la cara y el ancho de los ojos, la nariz y las cejas. ¿Te has parado a pensar por qué hay facciones más «atractivas» que otras? ¿Coincide esto con lo que acabamos de describir? Este tema se hace igual de interesante que el número i en las matemáticas.
¿Te gustó este artículo? ¡Califícalo!
Loading...
