Aprender cómo se utiliza la matemática suele ser una pesadilla para algunos alumnos. Pero si eres un apasionado de las matemáticas o quieres saber más sobre este concepto matemático, en este artículo te dejamos una reflexión sobre la fórmula de Euler números complejos, que suele ser una noción un poco abstracta para algunos alumnos…
Historia del número e
El número e hizo su aparición en el siglo XVII con el desarrollo de los logaritmos, gracias al trabajo de investigación del matemático escocés John Napier (1550-1617). En su libro de referencia, que data del año 1614, John presenta un formato para simplificar los cálculos matemáticos: el logaritmo.
En el siglo XVII, no existían las calculadoras ni los ordenadores, pero eso no significa que no hubiera investigaciones hechas por matemáticos sobre esta asignatura. En el siglo III a.C., Arquímedes ya se dio cuenta de que bastaba con sumar los números para multiplicar ciertos números, gracias a las potencias (el exponente).
El método de John fue ampliar el trabajo de Arquímedes desarrollando un método para hacer sumas en lugar de multiplicaciones, restas en lugar de divisiones y divisiones por 2 en lugar de extracciones de raíces cuadradas. Así, nacieron las primeras tablas de logaritmos decimales con 8.
Por ejemplo, si 10 3 = 10 x 10 x 10 = 1000; entonces log(1000) = 3 y si 10x = y, entonces log(y) = x.
El número e permite saber para qué valor el logaritmo neperiano es igual a 1.
Si ln (x) = y, entonces x = exp(y) y exp (1) = e.
A finales del siglo XVII, el número e se definió como la base del log neperiano, que luego caracterizamos por la relación ln(e) = 1, la imagen de 1 por la función exponencial.
Jacques Bernoulli (1654-1705) se interesó por encontrar el valor máximo de los intereses de los préstamos utilizando la técnica de interés compuesto: añadiendo, con la mayor frecuencia posible, el interés acumulado a la cantidad original depositada, uno maximiza su ganancia.
Bernoulli se dio cuenta de que los intereses compuestos se estancan a medida que uno aumenta la frecuencia de cálculo de los intereses. Así, calculado cada segundo, el interés es el mismo que el diario. Con esta demostración, J. Bernoulli descubrió el número e.
Fue el suizo Leonhard Euler (1707-1783) quien después se interesó por el número e, tomando su nombre de la letra inicial de la palabra «exponencial».
Euler demostró en 1737 que es irracional sobre la base del desarrollo continuo de fracción tras fracción y determinó el desarrollo de e en serie mediante la factorización, sabiendo que 4! = 1 x 2 x 3 x 4 -, como: e = 1 + 1/1! + 1/2! +... + 1 / k!
Cuanto mayor es el valor de k, más se acerca el valor obtenido a e.
La constante de Napier: un capítulo del álgebra
Antes que nada, debes saber que el número e forma parte del álgebra y llega a ser tan importante que podemos encontrar el número de Euler en Excel, y hacer uso de él con la fórmula =EPX(1).
La constante de Napier forma parte del aprendizaje de los estudiantes, ya que es la base de cada función. Por tanto, es fundamental comprender esta parte del álgebra.
El número e, te da la oportunidad de comprender los términos de cada número racional e irracional. De hecho, cada número tiene un nombre particular según sus características. Pueden ser los números perfectos, naturales, enteros, los números primos, reales, complejos o el número 0.
Conociendo el número e también tendrás la oportunidad de comprender cómo funciona cada fracción y cómo usarla.
¿Cuál es el número e?
Es aproximadamente 2,71828 y aparece en diferentes ramas de la matemática, pues es la base de los logaritmos naturales, y forma parte de los intereses compuestos, entre otros problemas de la matemática.
El número e es irracional, es decir, que no puede expresarse como el cociente exacto de dos enteros, y el número decimal que contiene es infinito y, por tanto, estos se siguen sin una secuencia lógica.
Por lo tanto, se opone a un número racional cuyo desarrollo decimal es periódico, un cociente de dos números enteros cuya escritura decimal puede ser infinita, pero que en este caso es periódica.
Te lo explicamos:
La proporción 2/7 = 0,285714285714285714...
Los números irracionales más comunes son:
- El número π (3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582...), objeto de investigación de eruditos desde la antigüedad;
- El número e = 2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957... En la actualidad, cuenta con alrededor de 5 mil millones de decimales (encontrados el 29 de agosto de 2016 por Ron Watkins).
¿Para qué sirve el número e?
La primera área en la que se usa el número e, si bien no había sido formulada la teoría, fue el de la búsqueda de la ganancia máxima al aumentar la frecuencia de cálculo de la tasa de interés de un préstamo: el método de interés compuesto en progresión continua, por J. Bernoulli.
Pues es difícil encontrar los campos de aplicación del número e. En pocas palabras, usamos el número e siempre que queremos estimar una magnitud exponencial:
- En economía: por el fenómeno del crecimiento, por el cálculo de la tasa de intereses pagados de forma continua.
- En biología: para medir la multiplicación de células vivas en un organismo,
- En física.
- En informática.
Pequeño problema sorpresa: ¿cómo estimar la evolución de la población mundial después de 100 años si aplicamos un crecimiento del 10 % por año, para una población inicial de 1000 individuos?
Haremos la siguiente operación:
- Primer año (1000 x 1,1) = 1100
- Segundo (1100 x 1,1²) = 1210
- Quinto (1,000 x 1,1 elevado a 5) = 1610
- Después de 100 años: (1,000 x 1,1 elevado a 100) = 13.780.612
Según nuestro ejemplo, la población, con un crecimiento poblacional del 10 % anual, ¡se ha multiplicado por 13 780!
Con una población global de 7,55 mil millones en 2019 y un crecimiento de la población del 1,2 por ciento anuales, ¡seríamos 24,88 mil millones de personas en la Tierra en un siglo!
Desde la obra de L. Euler, el número de decimales conocidos ha aumentado constantemente, de forma exponencial. Aumentó de 18 decimales conocidos en 1748 a 2010, decimales en 1949, luego a 116 000 en 1978, a 10 millones en 1994, a 1,25 mil millones en 1999, hasta alcanzar los 5 mil millones de decimales en 2016.
¿Por qué? ¿Gracias a qué? Evidentemente, es el poder de la informática lo que permite estos récords, que un cerebro humano no puede igualar.
Fórmulas que usan el número e
El número e en matemática ahora forma parte de varias fórmulas exponenciales como:
- ln e = 1
- ln ex = x
- ex × ey = ex + y.
Pero entre todas, la más conocida sigue siendo la fórmula de Euler, que el científico suizo descubrió con la ayuda del matemático francés Abraham De Moivre. Es la siguiente:
eiπ = −1
Como ves, esta integra no solo el número Pi y el número e, sino también el número i. Estos tres forman parte de los números más famosos de las matemáticas.
Leonhard Euler, por su parte, descubrió otra fórmula que, esta vez, no dependía únicamente del álgebra. De hecho, conecta el álgebra del número e con la trigonometría. Así, encontró la siguiente:
eix = cos x + i sen x
Recursos para aprender el número e
El cálculo logarítmico, ya sea un logaritmo neperiano o el límite de una función o la derivada, a menudo usa el número e, que puede ser difícil de entender para un alumno de secundaria.
¿Crees que las clases particulares a domicilio son demasiado caras? podemos leer lecciones y hacer ejercicios en línea para aprender de forma gratuita. Aquí tienes algunas maneras de conseguirlo.
Vitutor
Si quieres hacer ejercicios para practicar, la web vitutor.net es una plataforma de teleformación diseñada para el aprendizaje en línea de distintas materias, sobre todo mates. Hay una gran variedad de ejercicios interactivos, apoyado por un equipo docente con formación multidisciplinar.
Los contenidos relativos a esta asignatura están estructurados por cursos del sistema educativo español (Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato), o bien, por las distintas ramas de las matemáticas, que puedes consultar en español o inglés.
YouTube
La plataforma de videos presenta videos y tutoriales realizados por profesores de para comprender mejor los conceptos más difíciles, como el número áureo y por supuesto la constante de Napier.
Solo tienes que escribir «número e» o «logaritmo neperiano» para acceder a una cantidad pletórica de lecciones sobre estos temas.
Aquí tienes uno, por ejemplo, particularmente educativo y divertido:
Los libros de texto y los manuales de matemáticas en general también pueden serte útiles. Aunque no suelen ofrecer el mismo nivel de interactividad para los estudiantes, siguen siendo una fuente de inspiración para los profesores de esta asignatura que continúan extrayendo sus ejercicios de ellos.
Por lo tanto, los alumnos deben acostumbrarse a resolver problemas estándar que puedan aparecer en clase o durante los exámenes en lugar de acostumbrarse a los juegos, que es cierto que son útiles, pero a veces muy diferentes de los que aparecen en el aula. Por eso consideramos que es recomendable mencionar algunos libros que pueden ser de ayuda para comprender mejor este tema.
Aquí tienes algunos libros de mates y libros de texto que pueden ayudarte a comprender la constante de Napier:
- e: historia de un número de Eli Maor.
- Estudio del origen del número e y de sus aplicaciones en diversos campos de las matemáticas por Kronecker (lo encontrarás en PDF en Internet).
También encontrarás muchos libros de texto en tu instituto o en la biblioteca.
Finalmente, la última forma de estudiar esta parte de las mates son las clases particulares.
Las clases particulares de mates te darán la oportunidad de repasar lo que no hayas entendido en clase o de sacar mejores notas si ya lo has asimilado todo. El profesor orientador te hablará de la complejidad de este y te explicará cómo se utiliza. También puede darte ejercicios adaptados a tu nivel para que progreses de forma eficaz.
¡Solo queda repasar!
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